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压电材料：标准简介
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对于工程师而言，标准既是我们工作中不可分割的一部分，也是我们之间用以交流复杂信息的通用语言。但标准委员会并非万能，有时一些修订标准也没能被广泛接受。压电材料的相关标准就碰到了类似问题，尤其是在石英晶体中。本篇博客将介绍目前关于压电材料的两套不同标准，虽然我们的侧重点是石英，但其中所述标准同样适用于所有压电材料。 压电材料受到压力作用时，压电材料就会出现电极化。从微观角度来说，当实体变形时，带电原子在晶胞内的位移会在介质中产生一个净电偶极矩。在一些晶体结构中，这会造成一些宏观的平均偶极矩以及对应的净电极化。这就是正压电效应,，一般会伴有逆压电效应，即压电材料因置于电场中而产生机械形变。 要描述某类材料的压电效应，我们必须首先定义几种材料属性。材料极化与变形之间的关系可以通过以下两个方面进行定义：应变-电荷型或应力-电荷型。每个方程形式中的材料属性设定不同。 更麻烦的是，现在其实有两套不同的书面标准：IEEE 1978标准 和 IRE 1949标准，两套标准中材料属性的形式也有差异。IEEE 在 1987 年对 IEEE 1978 标准进行过修订，但因修订中包含一些错误，所以本次修订随即被取消。对此感到很困惑吗？我承认当我第一次阅读标准协议时，感觉就是如此。 本篇博客将详细介绍两套标准中不同的方程形式和标准，同时将侧重于石英晶体，这一带给我们最多困扰的材料。在学术界和工业界，较早的1949 IRE标准中对石英材料属性的定义较为常用，但其他材料的属性大多定义于1978 IEEE标准。更麻烦的是，在定义某些材料属性时，业界并没有表明他们所参照标准的习惯。 两种方程形式：应变-电荷型和应力-电荷型至于结构域和电气域之间的耦合，可以表示为材料应力与在恒定应力下介电常数之间的联系，或是材料应变与在恒定应变下介电常数之间的耦合。以下为这两种方程形式： 应变-电荷型应变-电荷型可以写为： \begin{array}{l} \bf{S}=s_E \bf{T}+d^T \bf{E} \\[3mm] \bf{D}=d \bf{T}+\epsilon_0 \epsilon_{rT} \bf{E} \end{array}其中 S 代表应变，T 代表应力，E 代表电场，D 代表电位移场。材料参数 sE, d 和 εrT 分别代表材料的柔度、耦合属性和在恒定应力下的相对介电常数。ε0 为真空介电常数。这些物理量为分别为 4 阶、3 阶和 2 阶的张量。但由于物理原因，这些张量高度对称。它们同样可以用带缩略下标的矩阵单元表达，这更为简便。在协议中，Voigt 符号更为常用。 如果使用此符号体系，上述两个方程式则可以写为： \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{l} S_{xx} \\ S_{yy} \\ S_{zz} \\ S_{yz} \\ S_{xz} \\ S_{xy} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{llllll} s_{E11} & s_{E12} &s_{E13} &s_{E14} &s_{E15} &s_{E16}\\ s_{E21} & s_{E22} &s_{E23} &s_{E24} &s_{E25} &s_{E26}\\ s_{E31} & s_{E32} &s_{E33} &s_{E34} &s_{E35} &s_{E36}\\ s_{E41} & s_{E42} &s_{E43} &s_{E44} &s_{E45} &s_{E46}\\ s_{E51} & s_{E52} &s_{E53} &s_{E54} &s_{E55} &s_{E56}\\ s_{E61} & s_{E62} &s_{E63} &s_{E64} &s_{E65} &s_{E66}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} T_{xx} \\ T_{yy} \\ T_{zz} \\ T_{yz} \\ T_{xz} \\ T_{xy} \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{lll} d_{11} & d_{21} & d_{31} \\ d_{12} & d_{22} & d_{32} \\ d_{13} & d_{23} & d_{33} \\ d_{14} & d_{24} & d_{34} \\ d_{15} & d_{25} & d_{35} \\ d_{16} & d_{26} & d_{36} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{l} D_{x} \\ D_{y} \\ D_{z} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{llllll} d_{11} & d_{12} &d_{13} & d_{14} & d_{15} & d_{16}\\ d_{21} & d_{22} &d_{23} & d_{24} & d_{25} & d_{26}\\ d_{31} & d_{32} &d_{33} & d_{34} & d_{35} & d_{36}\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} T_{xx} \\ T_{yy} \\ T_{zz} \\ T_{yz} \\ T_{xz} \\ T_{xy} \\ \end{array} \right) + \epsilon_0 \left( \begin{array}{lll} \epsilon_{rT11} & \epsilon_{rT12} & \epsilon_{rT13} \\ \epsilon_{rT21} & \epsilon_{rT22} & \epsilon_{rT23} \\ \epsilon_{rT31} & \epsilon_{rT32} & \epsilon_{rT33} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array} \right) \\ \end{array} 应力-电荷型应力-电荷型方程形式为： \begin{array}{l} \bf{T}=c_E \bf{S}-e^T \bf{E} \\[3mm] \bf{D}=e \bf{S}+\epsilon_0 \epsilon_{rS} \bf{E} \end{array}材料参数 cE、e 和 εrS 分别代表了材料的刚度、耦合属性和在恒定应变下的相对介电常数。ε0 为真空介电常数。同样，这些物理量分别为 4 阶、3 阶和 2 阶的张量，也可以通过缩略下标的方式表达。 使用 Voigt 符号，则这些部分可被写为： \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{l} T_{xx} \\ T_{yy} \\ T_{zz} \\ T_{yz} \\ T_{xz} \\ T_{xy} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{llllll} c_{E11} & c_{E12} &c_{E13} &c_{E14} &c_{E15} &c_{E16}\\ c_{E21} & c_{E22} &c_{E23} &c_{E24} &c_{E25} &c_{E26}\\ c_{E31} & c_{E32} &c_{E33} &c_{E34} &c_{E35} &c_{E36}\\ c_{E41} & c_{E42} &c_{E43} &c_{E44} &c_{E45} &c_{E46}\\ c_{E51} & c_{E52} &c_{E53} &c_{E54} &c_{E55} &c_{E56}\\ c_{E61} & c_{E62} &c_{E63} &c_{E64} &c_{E65} &c_{E66}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} S_{xx} \\ S_{yy} \\ S_{zz} \\ S_{yz} \\ S_{xz} \\ S_{xy} \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{lll} e_{11} & e_{21} & e_{31} \\ e_{12} & e_{22} & e_{32} \\ e_{13} & e_{23} & e_{33} \\ e_{14} & e_{24} & e_{34} \\ e_{15} & e_{25} & e_{35} \\ e_{16} & e_{26} & e_{36} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{l} D_{x} \\ D_{y} \\ D_{z} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{llllll} e_{11} & e_{12} &e_{13} & e_{14} & e_{15} & e_{16}\\ e_{21} & e_{22} &e_{23} & e_{24} & e_{25} & e_{26}\\ e_{31} & e_{32} &e_{33} & e_{34} & e_{35} & e_{36}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} S_{xx} \\ S_{yy} \\ S_{zz} \\ S_{yz} \\ S_{xz} \\ S_{xy} \\ \end{array} \right) + \epsilon_0 \left( \begin{array}{lll} \epsilon_{rS11} & \epsilon_{rS12} & \epsilon_{rS13} \\ \epsilon_{rS21} & \epsilon_{rS22} & \epsilon_{rS23} \\ \epsilon_{rS31} & \epsilon_{rS32} & \epsilon_{rS33} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array} \right) \\ \end{array}上述方程中所定义的矩阵是对压电材料关键材料属性的定义。对于许多材料而言，由于晶体对称性，每个矩阵中都有一些单元为 0，而其他一些则可能相关。 使用国际符号来描述晶体对称性，石英晶体的对称群为 Trigonal 32。在不同标准中，非零矩阵单元的取值不同，这会给仿真中材料属性的指定造成困扰，尤其是对于石英而言，因为目前的两套标准都较常用。 最后，石英晶体中的另一个麻烦之处：石英晶体中不存在与纵轴相平行的对称面。因此，石英晶体的分类方法为：左或右对映，即左右对映现象(enantiomorphism)。 在左右对映形中，材料属性矩阵中特定单元的正负号会不同。 适用于石英及其他 Trigonal 32 材料的材料属性矩阵如下所示：请注意矩阵单元间的对称关系与我们所用的标准无关，也与该物质是左对映还是右对映无关。 \begin{array}{rl} \left( \begin{array}{cccccc} c_{E11} & c_{E12} &c_{E13} & c_{E14} & 0 & 0\\ c_{E12} & c_{E11} &c_{E13} & -c_{E14} &0 & 0\\ c_{E13} & c_{E13} &c_{E33} & 0 & 0 & 0\\ c_{E14} & -c_{E14} & 0 & c_{E44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{E44} & c_{E14}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{E14} & \frac{1}{2}\left(c_{E11}-c_{E12}\right)\\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccccc} s_{E11} & s_{E12} &s_{E13} & s_{E14} & 0 & 0\\ s_{E12} & s_{E11} &s_{E13} & -s_{E14} &0 & 0\\ s_{E13} & s_{E13} &s_{E33} & 0 & 0 & 0\\ s_{E14} & -s_{E14} & 0 & s_{E44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & s_{E44} & 2 s_{E14}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 s_{E14} & 2\left(s_{E11}-s_{E12}\right)\\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cccccc} e_{11} &-e_{11} & 0 & e_{14} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{14} & -e_{11}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccccc} d_{11} & -d_{11} & 0 & d_{14} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -d_{14} & -2d_{11} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} \epsilon_{rS11} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{rS11} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{rS33} \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} \epsilon_{rT11} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{rT11} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{rT33} \\ \end{array} \right) \\ \end{array} 两套标准：1949 IRE 和 1978 IEEE在 xyz 坐标系中，通过矩阵定义了不同应力或应变分量下的材料属性后，剩下的工作便是为后续写下材料属性定义一套一致的坐标系。 同样，所有标准都为相关晶类定义了一套一致的坐标系。但对于石英而言，随后的各套标准并未使用相同的坐标系，而且最新标准的普及程度不高。因此，我们必须首先明确一组给定的材料属性究竟是按照哪套标准定义的。 两套相关标准为：两套相关标准为： IEEE 1978标准： 这是大多数文献中对除石英之外其他材料最常参考的标准。有时它也会被用来明确石英的材料属性，举个例子，B. A. Auld 所著的 Acoustic Fields and Waves in Solids 中用的就是这一标准。 IRE 1949标准： 各类文献通常会采用此标准中对石英材料属性的定义。晶体坐标系的取向可以根据原子在晶胞内的指向确定（但实际的可操作性不强），或者根据晶形指向确定。晶形是指一组对称的晶面。每一种矿物都有一定的晶形，因此晶形可用来鉴别矿物。 Quartz Page中介绍了许多常见的晶形，分别以 m、r、s、x、z 和 a 表示，并且还有专门的页面介绍对应晶形的 密勒指数，这非常有助于我们辨别各种晶形。各类标准通常会用晶形来进行坐标轴取向，下图即为 1978 和 1949 中所用的坐标轴。请注意图中同时有左对映和右对映石英的坐标轴图片。
由于不同晶体坐标轴的关系，当参考不同的标准时，左对映和右对映石英的材料属性的正负号会不同。下表总结了石英材料属性的正负号差异： IRE 1949 标准 IEEE 1978 标准 材料属性 右对映石英 左对映石英 右对映石英 左对映石英 sE14+ + — — cE14– — + + d11— + + — d14— + — + e11— + + — e14+ — + — 晶体切片的两个定义通常情况下，石英类压电材料主要以薄晶片的形式使用，即按照相对于晶轴的特定角度切割的薄片。压电晶体切片的取向在 1948 及 1978 两套标准中都有定义。切片相对于晶体坐标系的指向是由一系列的旋转角度确定的，通常按照下图所示的格式表示：
括号中的前两位表示从晶体上切下的压电片的厚度与长度方向。从左图中不难看出，厚度方向 (t) 与 Y 轴对齐，而长度方向 (l) 与 X 轴对齐。石英片还有第三个维度，那就是宽度 (w)。紧跟前两个字母的就是对切片边缘旋转角度的定义。 在上例中，第一个旋转角度是指 l 轴旋转 -51°。角度前面的负号表示切片将沿着坐标轴反向旋转、即向右旋转。另外一个旋转角度是指 t 轴将旋转 -45°。 在实际切割中，大多会定义一或两个旋转角度，但根据协议我们也可以定义第三个旋转角度，允许切片进行完全任意旋转。 请注意，因为 1949 标准和 1978 标准对晶轴的定义不同，所以两套协议中对晶体切面的定义也不同。AT 截法在石英片中较为常见，以上两套标准对此的定义是： StandardAT Cut Definition 1949 IRE(YXl) 35.25° 1978 IEEE(YXl) -35.25° 下图显示了两套标准中根据各自的坐标轴所定义的 AT 截法。
现在我们已经看出这两套不同的标准会如何影响我们对材料属性和晶体切面的定义。 在接下来的博客中，我们还将继续讲述如何根据这两套标准建立COMSOL Multiphysics模型。COMSOL Multiphysics中同时包含有两套标准中对材料属性的定义，因此您完全可以根据自己最熟悉的标准完成建模。请继续保持关注！ |
在 1978 IEEE（实线）和 1949 标准（虚线）中定义的晶轴 （点击图片放大）
上图显示了石英 GT 切面在 1978 IEEE 标准中的定义，本晶体为右对映石英。
在 IRE 1949中，AT 截法定义为 (YXl) 35.25°，而 IEEE 1978 中则将其定义为 (YXl) -35.25°。上图显示了在右对映石英晶体中对切片的定义。这些标准间的差异是由于对晶轴取向的约定不同而造成的。在 IRE 1949 标准中，旋转角度为正，即如与X 轴对齐的话，则将 l 轴向右旋转。由于 IEEE 1978 标准中的规定不同，标准中所定义的旋转角度为负。【本文地址】